Question

16．如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E、F分别在CA、CB上，将△CEF沿直线EF翻折，点C恰好落在AB上的点M处，若AM=3BM，求$\frac{CF}{CE}$．

Answer 1

分析 过M作MG⊥BC于G，MH⊥AC于H，得到四边形MGCH是矩形，根据矩形的性质得到CH=MG，得到△BMG是等腰直角三角形，通过△AHM∽△BMG，得到$\frac{GM}{MH}=\frac{BM}{AM}$，求得$\frac{CH}{MH}=\frac{BM}{AM}$=$\frac{1}{3}$，由于△ECF∽△MHE，即可得到结论．

解答 解：过M作MG⊥BC于G，MH⊥AC于H，
∵∠ACB=90°，
∴四边形MGCH是矩形，
∴CH=MG，
∵AC=BC，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∴BG=GM=CH，
∵MH∥BC，
∴△AHM∽△BMG，
∴$\frac{GM}{MH}=\frac{BM}{AM}$，
∴$\frac{CH}{MH}=\frac{BM}{AM}$=$\frac{1}{3}$，
∵△CEF沿直线EF翻折，点C恰好落在AB上的点M处，
∴EF⊥CM，
∵∠1=∠2，
∴∠HMC=∠CEF，
∴△ECF∽△MHE，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{CH}{HM}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．