题目内容
3．
已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（-6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点．经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．（1）则抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+8；
（2）连接AD，点F是抛物线上A、C之间的一点，直线BF交AD于点P，连接PE，当BP+PE的值最小时，写出此时点F的坐标（-$\frac{15}{4}$，$\frac{93}{16}$）．
分析 （1）把A、B两点的坐标代入y=ax2+bx+8，利用待定系数法即可求得；
（2）由（1）可知AB=AC，则可知PB=PC，则可知PB+PE=PC+PE，则可知P、C、E三点共线，要使PC+PE最小，则PE⊥AB，即O与点E重合，可求得其最小值，过G作GH⊥x轴于点H，由△COB∽△AOP可求得OP，再由PO∥GH，根据平行线分线段成比例可求得GH，即求得G点纵坐标，再代入抛物线解析式可求得G点坐标；
解答 
解：（1）把A、B两点的坐标代入y=ax2+bx+8得，$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+8；
故答案为y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+8；
（2）由y=ax2+bx+8可知C（0，8），
∵A点坐标为（-6，0），B点坐标为（4，0），
∴OA=6，OC=8，OB=4，
∴AB=10，AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AB=AC，
∴D为BC的中点，
∴AD为线段BC的垂直平分线，
∴BP=PC，
∴BP+PE=PC+PE，
要使其最小则P、C、E三点共线，
∴BP+PE=CE
要使CE最小，则CE⊥AB，此时点O与点E重合，
∴BP+PE=OC=8，即BP+PE的最小值为8，
如图，过F作FH⊥x轴于点H，设F（x，-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+8），则可知x＜0，
∴BH=4-x，FH=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+8，
∵∠DPO+∠DBO=∠APO+∠DPO=180°，
∴∠APO=∠CBO，且∠AOP=∠COB=90°，
∴△AOP∽△COB，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{OP}{OB}$，即$\frac{6}{8}$=$\frac{OP}{4}$，解得OP=3，
∵FH∥OP，
∴$\frac{OP}{FH}$=$\frac{OB}{BH}$，即$\frac{3}{-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x+8}$=$\frac{4}{4-x}$，解得x=4（舍去）或x=-$\frac{15}{4}$，
∴F点坐标为（-$\frac{15}{4}$，$\frac{93}{16}$）．
故答案为（-$\frac{15}{4}$，$\frac{93}{16}$）．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质及方程思想等知识．在（2）中确定出PB+PE最小时E点的位置是解题的关键．
如图，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，E是AB边上一点，且AE=AD，P是线段CD上一点，连结PE，将矩形沿着PE折叠，点B，C分别落在G，F处，FG，CD交于点O．
如图，在△ABC中，点E、H在BC上，EF⊥AB，HD⊥AB，垂足分别是F、D，点G在AC上，∠AGD=∠ACB，试说明∠1+∠2=180°．
如图，匀速地向该容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中容器内液面的高度h随时间t变化的函数图象最接近实际情况的是（ ）
