Question

8．如图，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，E是AB边上一点，且AE=AD，P是线段CD上一点，连结PE，将矩形沿着PE折叠，点B，C分别落在G，F处，FG，CD交于点O．
（1）当点G正好落在线段DE上，
①求证：DP=DE；
②当a=5，b=10时，求△FOP的周长．
（2）若a=6，b=6+2$\sqrt{3}$，当点P从点C移动到点D时，请求出点G经过的路径长．

Answer 1

分析 （1）①依据矩形的性质和平行线的性质可证明∠DPE=∠BEP，由翻折的性质得到∠BEP=∠GEP，则∠DPE=∠GEP，最后利用等角对等边的性质进行证明即可；②先依据勾股定理求得DE的长，然后依据翻折的性质可得GE的长，从而可得到DG的长，依据OF=FG-OG可得到OF的长，接下来证明△DGO、△OFP为等腰直角三角形，最后依据△FOP的周长=（2+$\sqrt{2}$）OF求解即可；
（2）由翻折的性质可知BE=EG=2$\sqrt{3}$，点G在以E为圆心，以EG为半径的圆弧上，然后求得当点P与点C重合，点P与点D重合时，GE与G′E所组成的夹角的度数，最后依据扇形的弧长公式求解即可．

解答 解：（1）①∵ABCD为矩形，
∴DC∥AB．
∴∠DPE=∠BEP．
由翻折的性质可知：∠BEP=∠GEP．
∴∠DPE=∠GEP．
∴DP=DE．
②∵在Rt△ADE中，AD=AE=5，
∴DE=5$\sqrt{2}$，∠ADE=45°．
由折叠的性质可知：EG=EB=5，∠FGE=∠B=90°．
∴DG=DE-GE=5$\sqrt{2}$-5．
∵∠GDO=45°，∠DGO=90°，
∴△DGO为等腰直角三角形．
∴OG=DG=5$\sqrt{2}$-5．
由折叠的性质可知：GF=BC=5．
∴OF=5-（5$\sqrt{2}$-5）=10-5$\sqrt{2}$．
∵∠FOP=45°，∠F=90°，
∴△FOP为等腰直角三角形．
∴△FOP的周长=OF+PF+OP=（2+$\sqrt{2}$）OF=（2+$\sqrt{2}$）（10-5$\sqrt{2}$）=10．
（2）∵AD=AE=6，AB=6+2$\sqrt{3}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$．
由翻折的性质可知BE=EG=2$\sqrt{3}$．
∴点G在以E为圆心，以EG为半径的圆弧上．

当点P与点C重合时，tan∠PEB=$\frac{PB}{EB}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
∴∠PEB=60°．
由翻折的性质可知∠BEG=2∠PEB=120°．
∴∠GEA=60°．
当点P′与点D重合时，∠P′EB=135°．
由翻折的性质可知：∠P′EG′=135°．
∴∠AEG′=90°．
∴∠GEG′=60°+90°=150°．
∴点G运动的路径=$\frac{150π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=5π．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质、特殊锐角三角函数值的应用，扇形的弧长公式，求得∠GEG′的度数是解题的关键．