Question

6．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，5），C（10，0）在一次函数y=kx+b（b≠0）的图象上，与反比例函数y=$\frac{k′}{x}$（k′≠0）交于点B（8，t）．
（1）求一次函数和反比例函数的函数关系式；
（2）将一次函数的图象向下平移m个单位，恰好与反比例函数图象只有一个交点，求m的值．

Answer 1

分析 （1）首先将两个已知的点代入一次函数的一般形式利用待定系数法确定一次函数的解析式，然后求得点B的坐标，从而求得反比例函数的解析式；
（2）由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5-m，则直线y=-$\frac{1}{2}$x+5-m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程$\frac{8}{x}$=-$\frac{1}{2}$x+5-m只有一组解，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．

解答 解：（1）∵点A（0，5），C（10，0）在一次函数y=kx+b（b≠0）的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{10x+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5；
∵B（8，t）在一次函数的图象上，
∴t=-$\frac{1}{2}$×8+5=1，
∴B（8，1），
∴k=8×1=8，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$；

（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5-m，
∵直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，
∴$\frac{8}{x}$=-$\frac{1}{2}$x+5-m，
整理得x²-2（m-5）x+16=0，
△=[2（m-5）]²-4×1×16=0，解得m=9或m=1，
即m的值为1或9．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何变换．