Question

18．矩形ABCO如图放置，点A，C在坐标轴上，点B在第一象限，一次函数y=kx-3的图象过点B，分别交x轴、y轴于点E、D，已知C（0，3）且S_△BCD=12．
（1）求一次函数表达式；
（2）若反比例函数$y=\frac{m}{x}$过点B，在其第一象限的图象上有点P，且满足S_△CBP=$\frac{2}{3}$S_△DOE，求出点P的坐标；
（3）连接AC，若反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象与△ABC的边总有有两个交点，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得点D的坐标，所以由矩形的性质和三角形的面积公式可以求得点B的坐标，把点B的坐标代入一次函数解析式，求得k的值即可；
（2）把点B的坐标代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$得到m的值，即该反比例函数的解析式；然后结合三角形的面积公式来求点P的坐标；
（3）当反比例函数图象经过点B时，m最大；当反比例函数图象与直线AC有一个交点时，m最小．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx-3的图象交y轴于点D，
∴D（0，-3）．
∵点C（0，3）
∴CD=6．
又∵四边形ABCO为矩形，
∴BC⊥CD
S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD．BC=12，
∴BC=4
∴B（4，3）．
把点B（4，3）代入y=kx-3得：k=$\frac{3}{2}$，
∴y=$\frac{3}{2}$x-3；

（2）∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$过B（4，3），
∴m=12，
∴y=$\frac{12}{x}$，
∵直线y=$\frac{3}{2}$x-3过x轴上的E点．
∴当y=0时，x=2，
∴E（2，0），S_△DOE=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
当S_△CBP=$\frac{2}{3}$S_△DOE时，$\frac{1}{2}$×4×h=$\frac{2}{3}$×3
∴h=1．
当点P在直线BC上方时，$\frac{12}{x}$=4，
解得x=3
∴P（3，4）．
同理当点P在直线BC下方时点P（6，2）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（3，4）或（6，2）．

（3）m的取值范围是3＜m＜12．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答（2）题时，要注意点P的位置有2个．