Question

17．如图，矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且DE=BF，EF与BD交于点O．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CF=CE，∠EFC=2∠DBC，CD=1，求BC．

Answer 1

分析 （1）先根据AAS证明△OED≌△OFB，由全等三角形的对应边相等即可得出OE=OF；
（2）连接CO，得BO=CO，CE=CF，易得CO垂直EF，△COF为直角三角形，∠DBC=∠OCB，又∠EFC=2∠DBC=2∠OCB，且∠EFC+∠OCB=90°，∠DBC=30°，BC长6．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO．
在△OED和△OFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOD=∠FOB}\\{∠EDO=∠FBO}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OFB（AAS），
∴OE=OF；

（2）解：连接OC，
∵△OED≌△OFB，
∴OB=OD，
∴BO=CO，
∵CE=CF，OE=OF，
∴CO⊥EF，
∴△COF为直角三角形，
∴∠DBC=∠OCB，
∵∠EFC=2∠DBC=2∠OCB，且∠EFC+∠OCB=90°，
∴∠DBC=30°，
∴tan30°=$\frac{CD}{BC}$，
∵CD=1，
∴BC=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质以及三角函数的应用，注意各知识点之间的综合．