Question

16．矩形ABCD中，AB=3，AD=4；P是AD上的任意一点，过P作PE⊥OA，PF⊥OD，求PE+PF的值？

Answer 1

分析 连接OP，由矩形ABCD的性质得出OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，∠BAD=90°，由勾股定理求出BD，得出OA=OD=$\frac{5}{2}$，S_△AOD=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=3，然后由S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP=$\frac{1}{2}$OA（PE+PF），即可得出结果．

解答 解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴S_矩形ABCD=AB•BC=12，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=5，S_△AOD=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×4×3=3，
∴OA=OD=$\frac{5}{2}$，
∴S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP=$\frac{1}{2}$OA•PE+$\frac{1}{2}$OD•PF=$\frac{1}{2}$OA（PE+PF）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（PE+PF）=3，
∴PE+PF=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、矩形的面积以及三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．