Question

5．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}（{{m^2}-{n^2}}）\\ b=mn\\ c=\frac{1}{2}（{{m^2}+{n^2}}）.\end{array}\right.$其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．

Answer 1

分析 由n=1，得到a=$\frac{1}{2}$（m²-1）①，b=m②，c=$\frac{1}{2}$（m²+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．

解答 解：当n=1，a=$\frac{1}{2}$（m²-1）①，b=m②，c=$\frac{1}{2}$（m²+1）③，
∵直角三角形有一边长为5，
∴Ⅰ、当a=5时，$\frac{1}{2}$（m²-1）=5，解得：m=$±\sqrt{11}$（舍去），
Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，
Ⅲ、当c=5时，$\frac{1}{2}$（m²+1）=5，解得：m=±3，
∵m＞0，
∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理，分类讨论是解题的关键．