直线l:y=3x+3与坐标轴分别交于A.B两点.直线m经过点C(1.0)且与x轴垂直．(1)求点A.B的坐标．(2)设点P是直线m上的一个动点.求PA+PB的最小值及点P的坐标．(3)在直线m上存在点M.使△MAB为等腰三角形.求出所有符合条件的点M的坐标．(4)在直线m上存在点N.使△NAB为以AB为直角边的直角三角形.画出示意图并直接写出所有符合条件的点N� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

直线l：y=3x+3与坐标轴分别交于A、B两点，直线m经过点C（1，0）且与x轴垂直．
（1）求点A、B的坐标．
（2）设点P是直线m上的一个动点，求PA+PB的最小值及点P的坐标．
（3）在直线m上存在点M，使△MAB为等腰三角形，求出所有符合条件的点M的坐标．
（4）在直线m上存在点N，使△NAB为以AB为直角边的直角三角形，画出示意图并直接写出所有符合条件的点N的坐标．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）分别令x=0和y=0，可求得A、B的坐标；
（2）在x轴上找到A关于x=1的对称点为A′，连接A′B交m于点P，则PA+PB=PA′+PB最小，根据勾股定理可求得A′B，结合条件可求得M的坐标；
（3）设出M为（1，y），分MA=MB、MB=AB、MA=AB三种情况得到出关于y的方程，可求出M的坐标；
（4）画出图形，利用相似三角形对应边成比例可求出N点的坐标．

解答：解：（1）∵y=3x+3，
∴令y=0可得x=-1，令x=0可得y=3，
∴A点为（-1，0），B点为（0，3）；
（2）∵直线m过点C（1，0），
∴直线m的方程为x=1，
∴A点关于直线x=1的对称点为A′（3，0），
如图1，连接A′B交m于点P，则PA+PB=PA′+PB=A′B最小，

在Rt△OBA′中，OB=3，OA′=3，由勾股定理可求得A′B=3

，
∵OB=OA′，
∴∠PA′C=45°，
∴PC=CA′=2，
∴P点坐标为（1，2），
∴当P点为（1，2）时PA+PB有最小值3

；
（3）设M点坐标为（1，y），
则由勾股定理可知AB²=10，AM²=（1+1）²+y²=4+y²，BM=1²+（y-3）²=1+（y-3）²，
∵△MAB为等腰三角形，
∴分MA=MB、MB=AB、MA=AB三种情况，
当MA=MB时，即AM²=BM²，所以4+y²=1+（y-3）²，解得y=1，此时M点坐标为（1，1），
当MB=AB时，即MB²=AB²，所以10=1+（y-3）²，解得y=0或y=6，此时M为（1，0）或（1，6），
当MA=AB时，即MA²=AB²，所以10=4+y²，解得y=

或y=-

，此时M为（1，

）或（1，-

），
综上可知M点的坐标为（1，1）或（1，0）或（1，6）或（1，

）或（1，-

）；
（4）N点的位置如图2所示，

当∠ABN=90°时，过B作BD⊥m于点D，设N点坐标为（1，k），则BD=OC=1，
∵∠ABO+∠OBN=∠OBN+∠DBN=90°，
∴∠ABO=∠DBN，且∠AOB=∠BDN，
∴△ABO∽△NBD，
∴

，
即

，解得DN=

，
∴NC=3-

，
此时N点坐标为（1，

），
当∠NAB=90°时，
∵∠CAN+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAN，且∠AOB=∠ACN=90°，
∴

，
即

，解得CN=

，
此时N点坐标为（1，-

）．
在Rt△ACN中，AC=2，

点评：本题主要考查了直线与坐标轴的交点和轴对称的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质及勾股定理的应用．在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中设出M点的坐标分别表示出AB、MA、MB的长度，分三种情况讨论是关键，在（4）中注意利用相似三角形的性质来求线段的长度．知识点较多，难度较大，注意分类思想和方程思想的应用．