Question

5．如图，⊙O中，∠AOB=120°，点E在$\widehat{AB}$上任意一点，作等边△CDE，且C、D在AB上，设AC=x，BD=y，CD=2，则y关于x的函数关系式为y=$\frac{4}{x}$．

Answer 1

分析 如图，在⊙O上取一点M，连接AM、BM、AE、EB．只要证明△AEC∽△EBD，可得$\frac{AC}{ED}$=$\frac{EC}{DB}$，即$\frac{x}{2}$=$\frac{2}{y}$，推出y=$\frac{4}{x}$．

解答 解：如图，在⊙O上取一点M，连接AM、BM、AE、EB．

∵∠AOB=120°，
∴∠M=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
∵∠AEB+∠M=180°，
∴∠AEB=120°，
∴∠EAB+∠EBA=60°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC=∠ECD=60°=∠EAC+∠AEC，
∴∠AEC=∠EBD，∠ACE=∠EDB=120°，
∴△AEC∽△EBD，
∴$\frac{AC}{ED}$=$\frac{EC}{DB}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{2}{y}$，
∴y=$\frac{4}{x}$．
故答案为y=$\frac{4}{x}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．