Question

15．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，点M在⊙O上，∠MAB=30°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=2，则△PMN周长的最小值为5$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，根据轴对称确定最短路线问题可得MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠MOB=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠BON′=∠BON=30°，然后求出∠MON′=90°，从而判断出△MON′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得MN′=$\sqrt{2}$OA，即为PM+PN的最小值，从而求得△PMN周长的最小值．

解答 解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，
则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值=MN′，
∵∠MAB=30°，
∴∠MOB=2∠MAB=2×30°=60°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠BON=$\frac{1}{2}$∠MAB=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
由对称性，∠N′OB=∠BON=30°，
∴∠MON′=∠MOB+∠N′OB=60°+30°=90°，
∴△MON′是等腰直角三角形，
∴MN′=$\sqrt{2}$OM=$\sqrt{2}$×5=5$\sqrt{2}$，
即=5$\sqrt{2}$，
∴△PMN周长的最小值=5$\sqrt{2}$+2．
故答案为5$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．