Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆，交BC边于点D，与AC边相切于点E．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若CD：BD=1：2，AC=3

3

，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OE，可证得OE∥BC，结合平行线的性质和圆的特性可求得∠OBE=∠CBE，可得出结论；
（2）设AB交⊙O于点F，连接FD，可知FD∥AC，利用平行线分线段成比例可求得AF=OB=OF，可得AE：AC=2：3，可得到OE与BC的关系，在Rt△DEB中利用勾股定理可求得CD的长．

解答：（1）证明：如图1，连接OE，

∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴OE∥BC，
∴∠OEB=∠CBE=∠OBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）解：如图2，设AB交⊙O于点F，连接FD，

设CD=x，OB=OF=OE=r，则BD=2x，BC=3x，
∵BF为直径，
∴∠FDB=∠C=90°，
∴DF∥AC，
∴

BF

AF

=

BD

CD

=2，
∴AF=r，AB=3r，
∴

FD

AC

=

BF

BA

=

2

3

，即

FD

3 3

=

2

3

，
∴FD=2

3

，
又∵OE∥BC，
∴

OE

BC

=

AO

AB

，即

r

3x

=

2

3

，
∴r=2x，
∴BF=4x，
在Rt△BDF中，由勾股定理可得BF²=DF²+BD²，
即（4x）²=（2

3

）²+（2x）²，解得x=1，
∴CD的长为1．

点评：本题主要考查切线的性质和平行线分线段成比例，掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，注意利平行线分线段成比例的中的线段的对应．