Question

6．如图，己知O是?ABCD内一点，过O作GH∥AB分别交CB、AD于点G、H；过点O作EF∥BC分别交AB、CD于点E、F，联结CE交GH于点P，联结AG交EF于点Q，若OP=OQ，求证：?ABCD是菱形．

Answer 1

分析 先证明AD∥EF，GH∥CD，得出四边形AEFD、四边形CDHG、四边形AEOH、四边形CGOF是平行四边形，$\frac{OQ}{HA}$=$\frac{GO}{GH}$，$\frac{OP}{FC}$=$\frac{OE}{EF}$，得出AD=EF，CD=GH，HA=OE，OE=HA，证出EF=GH，得出AD=CD，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF，GH∥CD，
∴四边形AEFD、四边形CDHG、四边形AEOH、四边形CGOF是平行四边形，
$\frac{OQ}{HA}$=$\frac{GO}{GH}$，$\frac{OP}{FC}$=$\frac{OE}{EF}$，
∴AD=EF，CD=GH，HA=OE，OE=HA，
又∵OP=OQ，
∴EF=GH，
∴AD=CD，
∴?ABCD是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．