Question

20．已知△ABC是一张三角形的纸片．

（1）如图①，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置，若∠A=50°，求∠1+∠2的度数；
（2）如图②，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？
（3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）根据翻折的性质可得∠A=∠DA′E，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解．

解答 解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$（180°-∠1），∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-∠2），
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴50°+$\frac{1}{2}$（180°-∠1）+$\frac{1}{2}$（180°-∠2）=180°，
整理得∠1+∠2=100°；

（2）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$（180°-∠1），∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-∠2），
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠A+$\frac{1}{2}$（180°-∠1）+$\frac{1}{2}$（180°-∠2）=180°，
整理得2∠A=∠1+∠2；

（3）如图③，∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，
∴∠A=∠A′，
根据三角形的外角性质，∠3=∠2+∠A′，
∠1=∠A+∠3，
∴∠1=∠A+∠2+∠A′=∠2+2∠A，
即∠1=∠2+2∠A．

点评 本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．