Question

11．如图，在锐角三角形ABC中，边BC=120cm，高AD=80cm，矩形EFGH的顶点E、H分别在AB、AC上，F、G在BC上，AD与EH交于点N．
（1）试说明：△AEH∽△ABC；
（2）若矩形EFGH是正方形，求EH的长；
（3）当EH为何值时，矩形EFGH的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据EF∥FG，可得△AEH∽△ABC；
（2）根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高之比等于相似比，列式计算可得答案；
（3）根据矩形的面积计算公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得矩形EFGH的面积最大值．

解答 解：（1）在矩形EFGH中，EF∥FG，
∴△AEH∽△ABC；
（2）设EH=xcm，
由△AEH∽△ABC得$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AN}{AD}$，
即$\frac{x}{120}$=$\frac{80-EF}{80}$，
∴EF=80-$\frac{2}{3}$x，
∵矩形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
∴x=80-$\frac{2}{3}$x，
解得x=48，
即EH=48cm．
（3）S_矩形EFGH=EF•EH=x（80-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400，
即当EH=60cm时，矩形EFGH的面积的最大值是2400cm²．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值以及矩形、正方形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应高之比等于相似比．