Question

6．在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE，交于点F．
（1）如图1，求证∠AFE=60°；
（2）如图2，连接FC，若∠AFC=90°，BF=4时，求AF的长度．

Answer 1

分析 （1）因为△ABC为等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=AC=BC，又BD=CE，所以用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠CBE，利用三角形外角性质解答即可；
（2）将△ABF绕A点逆时针旋转60°得到：△ACH，利用等边三角形的性质进而解答即可．

解答 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠BCE=60°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，
∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
（2）将△ABF绕A点逆时针旋转60°得到：△ACH，如图，

∴∠ABF=∠CAF=∠ACH，
∴△AFH是等边三角形，
∴BF=CH=4，
∴CH∥AF，
∵∠AFC=90°，
∴∠FCH=180°-∠AFC=90°，
∴FH=2CH=8，
∴AF=8．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；三条边相等．