Question

9．有这样一个问题：探究函数y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$的图象与性质：
小宏根据学习函数的经验，对函数y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$的图象与性质进行了探究．
下面是小宏的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）下表是y与x的几组对应值

x

…

-3

-2

-1

-$\frac{1}{2}$

-$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

1

2

3

…

y

…

-$\frac{8}{3}$

-$\frac{3}{2}$

0

m

$\frac{8}{3}$

-$\frac{8}{3}$

-$\frac{3}{2}$

0

$\frac{3}{2}$

n

…

求m，n的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）：①x＜0时，函数y随x的增大而增大．②x＞0时，函数y随x的增大而增大．．

Answer 1

分析 （1）根据分母不能为0即可写出自变量的取值范围、
（2）分别求出x=-$\frac{1}{2}$、3时的函数值即可．
（3）利用描点法即可画出图象，观察图象可得函数的性质．
（4）利用图象写两个性质即可．

解答 解：（1）数y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$的自变量x的取值范围x≠0，
故答案为x≠0．

（2）当x=-$\frac{1}{2}$时，m=$\frac{（-\frac{1}{2}）^{2}-1}{-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$，
当x=3时，n=$\frac{{3}^{2}-1}{3}$=$\frac{8}{3}$．

（3）函数图象如图所示，


（4）性质①x＜0时，函数y随x的增大而增大．
②x＞0时，函数y随x的增大而增大．
故答案为：x＜0时，函数y随x的增大而增大；为x＞0时，函数y随x的增大而增大．

点评 本题考查函数的图象一个的问题，解题的关键是确定函数自变量的取值范围，学会用描点法画函数图象，能观察图象，总结函数的性质，属于中考常考题型．