Question

请阅读下列材料：

1

1×2

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

+=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，…，所以

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

=1-

1

5

列问题：
（1）若n为正整数，请你猜想

1

n(n+1)

=

 

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=

 

；
化简：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）分子是1，分母是连续两个自然数的乘积可以拆成两个分子是1，分母是这两个自然数的分数的差，由此规律得出答案即可；
（2）利用发现的规律拆分抵消计算即可．

解答：解：（1）若

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

；
化简：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．