Question

15．如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ABC=30°，AC的延长线与过点B的⊙O的切线相交于点D，若⊙O的半径为1，∠D=60°，求CD的长．

Answer 1

分析 作辅助线OB、CE构建正方形CEBO．根据圆周角定理（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）求得∠OAC=2∠ABC=60°，然后由切线的性质及平行线的性质求得OB⊥OC，OB⊥BD；再根据圆的半径都相等知OB=OC，所以判定四边形CEBO是正方形，然后在直角三角形CDE中利用正弦三角函数sin∠D=sin60°求CD的长度．

解答 解：连接OB，OA，OC，过点C作CE⊥BD于点E．
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠ACO=∠D=60°，
∴OC∥BD，
∴∠OCD=120°，
∵BD是⊙O的切线，
∴OB⊥OC，OB⊥BD；
又∵OB=OC，
∴四边形CEBO是正方形，
∴CE=OB=1，
∴CD=$\frac{CE}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题综合考查了正方形的判定与性质、圆周角定理，切线的性质，解答该题时，借助于辅助线OB、CE构建正方形CEBO，然后由正方形的性质、直角三角形中的特殊角的三角函数值来求CD的长度．