Question

6．如图，菱形ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE=DF=$\frac{1}{4}$BD，若四边形AECF为正方形，则tan∠ABE=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设AC交BD于点O．根据正方形的性质知：AC⊥BD．设正方形的边长为2a，可求出AO，EF的长，再根据BE=DF=$\frac{1}{4}$BD，可将AO的长求出，代入tan∠ABE=$\frac{AO}{BO}$计算即可．

解答 解：设AC交BD于点O，
设正方形AECF的边长为2a，则EF=2$\sqrt{2}$a，AO=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{2}$a．
∵BE=DF=$\frac{1}{4}$BD，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴BD=4$\sqrt{2}$a，
∵BO=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠ABE=$\frac{AO}{BO}=\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、菱形的性质以及勾股定理和锐角三角形函数定义的运用，解题的关键是正确取出BD的长．