Question

4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A（$\sqrt{3}$，0）、B（3$\sqrt{3}$，0）、C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB=60°，则线段CD的长的最小值是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$-2
• B． 2$\sqrt{5}-2$
• C． 2$\sqrt{7}-2$
• D． 2$\sqrt{10}-2$

Answer 1

分析 作圆，求出半径和PC的长度，判出点D只有在CP上时CD最短，CD=CP-DP求解．

解答 解：作圆，使∠ADB=60°，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如图所示：
∵A（$\sqrt{3}$，0）、B（3$\sqrt{3}$，0），
∴E（2$\sqrt{3}$，0）
又∠ADB=60°，
∴∠APB=120°，
∴PE=1，PA=2PE=2，
∴P（2$\sqrt{3}$，1），
∵C（0，5），
∴PC=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（5-1）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
又∵PD=PA=2，
∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP）
∴CD最小值为：2$\sqrt{7}$-2．
故选：C．

点评 本题主要考查坐标与图形的性质，圆周角定理及勾股定理，解决本题的关键是判出点D只有在CP上时CD最短．