Question

1．如图，五条直线a、b、c、d、e互相平行，相邻两直线之间的距离为1，四边形ABCD的顶点B、D分别在直线e、a上
（1）如图1，对角线AC在直线c上，AB=AD，CB=CD，点P为AC上一点，求证：PD=PB；
（2）如图2，对角线AC在直线b上，在AC上作出点P，使∠DPC=∠BPC，保留作图痕迹，不需写作法，不需证明；
（3）如图3，若正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，过点A作AF⊥c于点F，交b于点H，过点C作CE⊥b于点E，交c于点G，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）证明△ADC≌△ABC证得∠DCA=∠BCA，然后证明△DCP≌△BCP，根据全等三角形的性质即可证得；
（2）过D作DE⊥c于点E，连接BE并延长交b与点P，作射线PD，则P就是所求的点；
（3）由ASA定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}即可得出结论；

解答 解：（1）∵在△ADC和△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{CB=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABC，
∴∠DCA=∠BCA，
∴在△DCP和△BCP中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠DCA=∠BCA}\\{CP=CP}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△BCP，
∴PD=PB；
（2）过D作DE⊥c于点E，连接BE并延长交b与点P，作射线PD，则P就是所求的点．
；
（3）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠CBE=∠BAH
又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°
∴△ABH≌△BCE，
同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴AH=DF=BE，
∵l₁，l₂，l₃，l₄是一组平行线，
∴AH=HF，BE=EH，
∴EH=HF，
∵l₂∥l₃，AF⊥l₃于点F，CE⊥l₂于点E，
∴四边形HEGF是正方形，
∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}
=4×$\frac{1}{2}$×2×1+1×1
=5．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质及平行线之间的距离，熟知判定全等三角形的SSS、SAS、ASA及HL定理是解答此题的关键．