Question

12．如图，反比例函数y=$\frac{18}{x}$的图象过矩形OABC的顶点B，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA；OC=1：2，矩形OABC的对角线交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）若直线y=$\frac{1}{2}$x+a平分矩形OABC的面积，试求这条直线的表达式．

Answer 1

分析 （1）首先由OA：0C=1：2，设OA=a，OC=2a．再根据双曲线的解析式求得点B的坐标，再根据矩形的对角线相等且互相平分，结合平行线等分线段定理，得点E的横、纵坐标分别是矩形的长和宽的一半；
（2）根据矩形是中心对称图形，则要平分矩形的面积，该直线一定经过点E．只需把点E的坐标代入进行计算．

解答 解：（1）由题意，设B（a，2a）（a≠0），
∴2a=$\frac{18}{a}$，
∴a=±3．
∵B在第一象限，
∴a=3．
∴B（3，6）；
∴矩形OABC对角线的交点E为（$\frac{3}{2}$，3）；（3分）
（2）∵直线y=$\frac{1}{2}$x+a平分矩形OABC必过点（$\frac{3}{2}$，3）
∴3=$\frac{3}{4}$+a，
∴a=$\frac{9}{4}$．
∴这条直线为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查的是反比例函数的性质及矩形的性质，根据题意得出B点坐标是解答此题的关键．