Question

13．如图，分别以△ABC的三边向外作等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）对于任意的△ABC，?ADEF是否始终存在？

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质∠DBA=∠EBC=60°，DB=BA，EB=BC，然后证明△EDB≌△CAB，进而可得DE=AC，然后可证明AF=ED，同理可得DA=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）不一定，当∠BAC=60°时不存在．

解答 （1）证明：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBA=∠EBC=60°，DB=BA，EB=BC，
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
在△EDB和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BE}\\{∠ABC=∠DBE}\\{BD=AB}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△CAB（SAS），
∴DE=AC，
∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF，
∴AF=ED，
同理可得DA=EF，
∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）解：不一定，当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，不存在四边形ADEF．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定，关键是掌握等边三角形三边相等，三个角都是60°，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．