Question

9．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，连接BE、BF、DE、DF，则下列结论中一定成立的是①③④（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①BF=DE；②∠ABO=2∠ABE；③S_△AED=$\frac{1}{4}$S_△ACD；④四边形BFDE是菱形．

Answer 1

分析 根据正方形的性质、平行四边形的判定和性质以及菱形的判定方法逐项分析即可．

解答 解：
∵点E、F分别是AO、CO的中点，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD=OB，AC⊥BD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF=DE，故选项①正确；
∵四边形BEDF是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，故选项④正确；
∵△AED的一边AE是△ACD的边AC的$\frac{1}{4}$，且此边的高相等，
∴S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_△ACD；故选项③正确，
∵AB＞BO，BE不垂直于AO，
∴BE不是∠ABO的角平分线，
∴∠ABO≠2∠ABE；故选项②没有足够的条件证明成立，
故答案为：①③④．

点评 本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质以及菱形的判定方法，题目的综合性较强，难度不大，熟记各种特殊的四边形的判定方法和性质是解题关键．