Question

14．如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数；
（2）△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α，β间的等量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数；然后根据角平分线的性质，求出∠BAE、∠CAE的度数是多少；最后根据三角形的外角的性质，求出∠AED的度数，进而求出∠DAE的度数是多少即可．
（2）根据（1）问的结果，猜想∠DAE与α，β间的等量关系为：∠DAE=$\frac{β-α}{2}$，然后根据（1）中求解的方法，证明猜想的正确性即可．

解答 解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-30°-70°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=80°÷2=40°，
∵∠AED=∠B+∠BAE=30°+40°=70°，
∴∠DAE=90°-70°=20°．

（2）根据（1）问的结果，猜想∠DAE与α，β间的等量关系为：∠DAE=$\frac{β-α}{2}$，
证明∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-α-β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=（180°-α-β）÷2=90°-$\frac{α+β}{2}$，
∵∠AED=∠B+∠BAE=α+（90°-$\frac{α+β}{2}$）=90°+$\frac{α-β}{2}$，
∴∠DAE=90°-（90°+$\frac{α-β}{2}$）=$\frac{β-α}{2}$．

点评 （1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（3）此题还考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的角平分线把这个角分成两个大小相同的角．