Question

19．若等腰△ABC的一边长为a=2，另外两边长b、c恰好是关于x的一元二次方程x²-（m+3）x+m+2=0的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 分a=2为腰和a=2为底边两种情况分类讨论即可确定三角形的周长，注意运用三边关系进行验证．

解答 解：若a=2为腰，则b、c中还有一腰，即2是方程x²-（m+3）x+m+2=0的一个根，
∴4-2（m+3）+m+2=0，
∴m=0，
这时方程为x²-3x+2=0，
其根为1、2，
∴△ABC的周长为2+2+1=5；
若a=2为底，则b=c，即方程x²-（m+3）x+m+2=0有两个相等的实根，
∴△=0，
解得：m=-1，
这时方程为x²-2x+1=0，
∴x₁=x₂=1，
但1+1=2不能围成三角形，
综上可得：△ABC的周长为5．

点评 本题考查了解一元二次方程的应用：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了解等腰三角形的性质．