Question

13．已知l₁∥l₂，点A，B在l₁上，点C，D在l₂上，连接AD，BC，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的角平分线，∠ABC=∠α=70°（图①），∠ADC=∠β=30°．

（1）如图①，则∠BAE=15°，∠DCE=35°；
（2）求∠AEC的度数（写出解题过程，提示：过E作EF∥l₁）
（3）如图②，将线段AD沿CD方向平移，其他条件不变，直接写出∠AEC的度数，∠AEC=140°．

Answer 1

分析 （1）由l₁∥l₂，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BAD=∠ADC=30°、∠BCD=∠ABC=70°，再根据角平分线的定义即可得出∠BAE、∠DCE的度数；
（2）在图①中，过点E作EF∥l₁，由l₁∥l₂可得出EF∥l₂，根据“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF=15°、∠CEF=35°，再由∠AEC=∠AEF+∠CEF即可求出∠AEC的度数；
（3）由∠ABC与α互补可求出∠ABC的度数，结合四边形内角和为360°可得出∠BCD+∠DAB=220°，由角平分线的定义可得出∠BCE+∠EAB=110°，再在四边形BCEA中利用四边形内角和为360°即可求出∠AEC的度数．

解答 解：（1）∵l₁∥l₂，
∴∠BAD=∠ADC=30°，∠BCD=∠ABC=70°．
∵AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的角平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=15°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BCD=35°．
故答案为：15°；35°．
（2）在图①中，过点E作EF∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴EF∥l₂，
∴∠AEF=∠BAE=15°，∠CEF=∠DCE=35°，
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=50°．
（3）∵∠α=70°，∠ABC+α=180°，
∴∠ABC=110°．
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°，∠CDA=β=30°，
∴∠BCD+∠DAB=220°．
∵AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的角平分线，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠BCE+∠EAB=$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠DAB）=110°．
∵∠ABC+∠BCE+∠AEC+∠EAB=360°，
∴∠AEC=360°-110°-110°=140°．
故答案为：140°．

点评 本题考查了四边形内角和、角平分线、平行线的性质以及平移的性质，解题的关键是：（1）根据平行线的性质找出∠BAD=∠ADC=30°、∠BCD=∠ABC=70°；（2）根据平行线的性质找出∠AEF=15°、∠CEF=35°；（3）根据角平分线的定义找出∠BCE+∠EAB=110°．