Question

18．如图，已知等边△ABC，AB=6，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DF交BC于点P，作DE⊥BC与点E，则EP的长是3．

Answer 1

分析 过点D作DH∥AC交BC于H，判断出△BDH是等边三角形，从而求出HD=CF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠PCF=∠PHD，然后利用“角角边”证明△PCF和△PHD全等，根据全等三角形对应边相等可得PC=PH，再根据等边三角形的性质可得BE=EH，然后求出EP=$\frac{1}{2}$BC，从而得解．

解答 解：如图，过点D作DH∥AC交BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴△BDH也是等边三角形，
∴BD=HD，
∵BD=CF，
∴HD=CF，
∵DH∥AC，
∴∠PCF=∠PHD，
在△PCF和△PHD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PCF=∠PHD}\\{∠CPF=∠HPD}\\{HD=CF}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△PHD（AAS），
∴PC=PH，
∵△BDH是等边三角形，DE⊥BC，
∴BE=EH，
∴EP=EH+HP=$\frac{1}{2}$BC，
∵等边△ABC，AB=6，
∴EP=$\frac{1}{2}$×6=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等边三角形是解题的关键．