Question

14．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A₁处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h₁，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D₁的直线折叠，使点A落在DE边上的A₂处，称为第2次操作，折痕D₁E₁到BC的距离记为h₂；按上述方法不断操作下去…，经过第2017次操作后得到的折痕D₂₀₁₆E₂₀₁₆，到BC的距离记为h₂₀₁₇；若h₁=1，则h₂₀₁₇的值为2-$\frac{1}{{2}^{2016}}$．

Answer 1

分析 根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA₁=DB，从而可得∠ADA₁=2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA₁=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA₁⊥BC，得到AA₁=2，求出h₁=2-1=1，同理h₂=2-$\frac{1}{2}$，h₃=2-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{{2}^{2}}$，于是经过第n次操作后得到的折痕D_n-1E_n-1到BC的距离h_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，据此求得h₂₀₁₇的值．

解答 解：如图，连接AA₁．
由折叠的性质可得：AA₁⊥DE，DA=DA₁，
又∵D是AB中点，
∴DA=DB，
∴DB=DA₁，
∴∠BA₁D=∠B，
∴∠ADA₁=2∠B，
又∵∠ADA₁=2∠ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA₁⊥BC，
∴AA₁=2，
∴h₁=2-1=1，
同理，h₂=2-$\frac{1}{2}$，h₃=2-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{{2}^{2}}$，…
∴经过第n次操作后得到的折痕D_n-1E_n-1到BC的距离h_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴h₂₀₁₇=2-$\frac{1}{{2}^{2016}}$．
故答案为：2-$\frac{1}{{2}^{2016}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理的综合应用，找出规律是解题的关键．