Question

2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B+∠C=90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S₁、S₂、S₃，若S₁+S₃=4S₂，求$\frac{BC}{AD}$的值．

Answer 1

分析 过点A作AE∥BC交CD于点E，得到平行四边形ABCE和Rt△ADE，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边．

解答 证明：过点A作AE∥DC交CB于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE，DC=AE，∠BCD=∠AEB，
∵∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，
∵S₁=AB²，S₂=AD²=BE²，S₃=DC²=AE²，
∵S₁+S₃=4S₂，
∴AB²+DC²=AB²+AE²=4AD²=BE²，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BC}{AD}$=3．

点评 本题考查了勾股定理，解题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题，然后把三个正方形的边长整理到一个三角形中进行解题．