Question

19．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE；
（2）如图2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG=BD，连接BE，求∠BED的度数．

Answer 1

分析 （1）先证∠BCG=∠DCE，再证明△BCG≌△DCE，即可得出结论；
（2）先证明∠BCG=∠BCE，再证明△BCG≌△BCE，得出BG=BE，证出△BDE为等边三角形，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，
∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，
即：∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCG=∠DCE}&{\;}\\{∠CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；
（2）解：由（1）可知：BG=DE．
∵CG∥BD，
∴∠DCG=∠BDC=45°，
∴∠BCG=∠BCD+∠GCD=90°+45°=135°，
∵∠GCE=90°，
∴∠BCE=360°-∠BCG-∠GCE=360°-135°-90°=135°，
∴∠BCG=∠BCE，
在△BCG和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC}&{\;}\\{∠BCG=∠BCE}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△BCE（SAS），
∴BG=BE，
∵BG=BD=DE，
∴BD=BE=DE，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠BED=60°．

点评 本题考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．