Question

7．若x₁、x₂为关于x的一元二次方程x²-8x+k+3=0的两个实数根，且满足x₁=3x₂，试求出方程的两个实数根及k的值．

Answer 1

分析 先由判别式的意义得出△=64-4×1×（k+3）≥0，解得，k≤13；再根据一元二次方程根与系数的关系，推出x₁+x₂=8，然后结合x₁=3x₂，即可推出x₁和x₂的值，最后根据k+3=x₁•x₂，即可求出k的值．

解答 解：∵关于x的一元二次方程x²-8x+k+3=0有两个实数根，
∴△=64-4×1×（k+3）≥0，
解得，k≤13；
由根与系数的关系，得
x₁+x₂=8 ①，x₁•x₂=k+3 ②，
又∵x₁=3x₂③，
联立①、③，解方程组得x₁=6，x₂=2，
∴k=x₁x₂-3=6×2-3=9．
答：方程两根为x₁=6，x₂=2；k=9．

点评 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，关键在于推出x₁+x₂=8，结合已知条件求出x₁和x₂的值．也考查了根的判别式．