Question

13．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．

（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形 （在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a²+3ab+2b²分解因式．
（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．
（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．

Answer 1

分析 （1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；
（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a²+b^{2₌₁₆₉}，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；
（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）²=n²a²+2nmab+m²b²．因为现有三种纸片各8张，
n²≤8，m²≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．

解答 解：（1）如图：

拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形
∴a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b）；
（2）∵长方形②的周长为34，
∴a+b=17．
∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，
∴a²+b²=169．
将a+b=17两边同时平方得：（a+b）²=17²，整理得：a²+2ab+b²=289，
∴2ab=289-169，
∴ab=60．
∴长方形②的面积为60．
（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）
∴正方形的面积=（na+mb）²=n²a²+2nmab+m²b²．
∵现有三种纸片各8张，
∴n²≤8，m²≤8，2mn≤8（n、m为正整数）
∴n≤2，m≤2．
∴共有以下四种情况；
①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；
②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；
③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；
④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．

点评 此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．