Question

3．如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且（m-4）²+n²-8n=-16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．
（1）求A点的坐标；
（2）若OF+BE=AB，求证：CF=CE；
（3）如图（2），若∠ECF=45°，给出两个结论：?OF+AE-EF的值不变；?OF+AE+EF的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．

Answer 1

分析 （1）已知的式子可以化成（m-4）²+（n-4）²=0的形式，根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得A的坐标；
（2）证明△COF≌△CAE，根据全等三角形的性质即可求解；
（3）在x轴负半轴上取点H，使OH=AE，证明△HCF≌△ECF即可求解．

解答 解：（1）（m-4）²+n²-8n=-16，
即（m-4）²+（n-4）²=0，
则m-4=0，n-4=0，
解得：m=4，n=4．
则A的坐标是（4，4）；
（2）∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4），
∴AB=AC=OC=OB，∠ACO=∠COB=∠ABO=90°，
又∵四边形的内角和是360°，
∴∠A=90°，
∵OF+BE=AB=BE+AE，
∴AE=OF，
∴在△COF和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=OF}\\{∠A=∠COF}\\{AC=OC}\end{array}\right.$，
∴△COF≌△CAE，得
∴CF=CE；
（3）结论?正确，值为0．
证明：在x轴负半轴上取点H，使OH=AE，
∵在△ACE和△OCH中，$\left\{\begin{array}{l}{OH=AE}\\{∠COH=∠A}\\{AC=OC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△OCH，
∴∠1=∠2，CH=CE，
又∵∠EOF=45°，
∴∠HCF=45°，
∴在△HCF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{CH=CE}\\{∠HCF=∠EOF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△HCF≌△ECF，
∴HF=EF，
∴OF+AE-EF=0．

点评 本题考查了非负数的性质以及全等三角新的判定与性质，正确作出辅助线是关键．