Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=4，L、M、N分别是BC、AC、AB的中点，D是BA上一动点，过点D作DE∥AC交BC于E，设BD为x，以DE为一边在点B的异侧作正方形DEFG，正方形DEFG与四边形ANLM的公共部分面积为y．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量取值范围．
（2）当公共部分的面积为5，求正方形DEFG的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）设BD=xcm，含x的代数式表示y（cm²），求出y和x的函数关系式，要分四种情况进行讨论：
①当G在D点或D点右侧时，
②当G在N点左侧，而D点在N点右侧或与N点重合时，
③当D在N点左侧，而G点在A点右侧或与A点重合时；
④当D在A左侧时，而G点在BA延长线上时，
（2）把将y=5代入（1）的式子中，看看求出的x哪个符合条件即可．

解答：解：（1）设BD=xcm，含x的代数式表示y（cm²），求出y和x的函数关系式，
①当G在D点或D点右侧时，当正方形DEFG的边FG与矩形ANLM的边NL重合时，利用相似三角形的性质可得出x=

8

3

，即0＜x≤

8

3

时，此时正方形与矩形没有重合，因此y=0；
②当G在N点左侧，而D点在N点右侧或与N点重合时，即

8

3

＜x≤4，此时正方形与矩形重合的面积应该是以DN为长，DE为宽的矩形，DN=DG-NG=DG-（BN-BD）=x-（4-

1

2

x）=

3

2

x-4．而NM=PQ=

1

2

x，因此重合部分的面积应该是y=（

3

2

x-4）×

1

2

x=

3

4

x²-2x；
③当D在N点左侧，而G点在A点右侧或与A点重合时，即4＜x≤

16

3

时，此时正方形重合部分的面积应该是以正方形边长为长，DE为宽的矩形的面积，PN=

1

2

x，DE=2，因此此时重合部分的面积是y=

1

2

x×2=x；
④当D在A左侧时，而G点在BA延长线上时，即

16

3

＜x＜8时，此时重合部分的面积应该是以LN长为宽，BD长为长的矩形的面积．AD=AB-BD=8-x，AM=LN=2，因此此时重合部分的面积应该是y=（8-x）×2=16-2x．
（2）当

8

3

＜x≤4时，如果y=5，5=

3

4

x²-2x，解得x=

4±2 19

3

（舍去）；
当4＜x≤

16

3

时，如果y=5，x=5，符合题意，
当

16

3

＜x＜8时，如果y=5，5=16-2x，解得x=

11

2

，
因此当BD=5或

11

2

cm时，y=5cm²．

点评：本题主要考查了直角三角形的性质，正方形的性质，中位线定理以及解直角三角形的应用等知识点，要注意x的值不同，正方形的位置不同时，函数解析式是不同的，要分类讨论，不要漏解．