Question

3．若抛物线y=ax²+bx+c上有两点A，B关于原点对称，则称它为“完美抛物线”．
（1）请猜猜看：抛物线y=x²+x-1是否是“完美抛物线”？若猜是，请写出A，B坐标，若不是，请说明理由；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c是“完美抛物线”与y轴交于点C，与x轴交于（-$\frac{c}{2}$，0），若S_△ABC=$\frac{{c}^{2}}{b}$，求直线AB解析式．

Answer 1

分析 （1）首先设A点的坐标是（m，n），根据A，B关于原点对称，判断出B点的坐标是（-m，-n）；然后根据A，B都是抛物线y=x²+x-1上的点，求出m、n的值各是多少，判断出抛物线y=x²+x-1是“完美抛物线”，并写出A，B坐标即可．
（2）首先根据抛物线y=ax²+bx+c上有两点A，B关于原点对称，可得直线AB经过原点，设直线AB解析式是：y=kx；设点A的坐标是（p，q），则B点的坐标是（-p，-q）；然后根据A、B都是抛物线y=x²+x-1上的点，抛物线与x轴交于（-$\frac{c}{2}$，0），可得2b-ac=4；最后根据S_△ABC=$\frac{{c}^{2}}{b}$，求出b的值是多少，进而判断出直线AB的斜率是多少，求出直线AB解析式即可．

解答 解：（1）设A点的坐标是（m，n），
∵A，B关于原点对称，
∴B点的坐标是（-m，-n），
∵A，B都是抛物线y=x²+x-1上的点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m-1=n…①}\\{{（-m）}^{2}-m-1=-n…②}\end{array}\right.$，
解得m=1或m=-1，
①当m=1时，
n=1²+1-1=1，
②当m=-1时，
n=（-1）²-1-1=-1，
∴抛物线y=x²+x-1是“完美抛物线”，
A（1，1）、B（-1，-1）或A（-1，-1）、B（1，1）．

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c上有两点A，B关于原点对称，
∴直线AB经过原点，
∴设直线AB解析式是：y=kx，
设点A的坐标是（p，q），
则B点的坐标是（-p，-q），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{ap}^{2}+bp+c=q}\\{a{•（-p）}^{2}+b•（-p）+c=-q}\end{array}\right.$，
∴ap²+c=0，
∴bp=q，
∴${p}^{2}=-\frac{c}{a}$，
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于（-$\frac{c}{2}$，0），
∴$a{•（-\frac{c}{2}）}^{2}+b•（-\frac{c}{2}）+c=0$，
∴2b-ac=4，
∵点C的坐标是（0，c），
∴|$\frac{1}{2}$cp×2|=$\frac{{c}^{2}}{b}$，
∴${{c}^{2}p}^{2}=\frac{{c}^{4}}{{b}^{2}}$，
∴p²=$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$，
又∵${p}^{2}=-\frac{c}{a}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}=-\frac{c}{a}$，
∴b²=-ac，
又∵2b-ac=4，
∴b²+2b-4=0，
∴b=-1$±\sqrt{5}$，
∵S_△ABC=$\frac{{c}^{2}}{b}$＞0，
∴b＞0，
∴b=$\sqrt{5}$-1，
又∵bp=q，
∴$\frac{q}{p}=b=\sqrt{5}-1$，
即直线AB的斜率是：k=$\sqrt{5}-1$，
∴直线AB解析式是：y=（$\sqrt{5}$-1）x．

点评 （1）此题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征，以及对“完美抛物线”的含义的理解，要熟练掌握．
（2）此题还考查了直线的解析式的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出直线AB的斜率是多少．