Question

20．如图，点B是x轴上一动点，点A（0，2），过A作x轴的平行线交AB的中垂线CD于D，点C为垂足，抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，D三点，当点B从（1，0）运动到（4，0）时，则a的变化范围是a≤-$\frac{1}{3}$或a≥$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设点B的坐标为（m，0），则点C（$\frac{m}{2}$，1），根据线段垂直平分线的性质结合相似三角形的性质即可得出点D的坐标为（$\frac{{m}^{2}+4}{2m}$，2），根据点A、B、D的坐标利用待定系数法即可求出a值，结合m的取值范围即可得出a的变化范围．

解答 解：设点B的坐标为（m，0），则点C（$\frac{m}{2}$，1），
∵DC⊥AB，
∴∠ACD=∠BOA=90°．
∵∠BAO+∠CAD=∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，
∴△CAD∽△OBA，
∴$\frac{AC}{BO}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=$\frac{AC•AB}{BO}$=$\frac{{m}^{2}+4}{2m}$，
∴点D的坐标为（$\frac{{m}^{2}+4}{2m}$，2）．
将A（0，2）、B（m，0）、D（$\frac{{m}^{2}+4}{2m}$，2）代入y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a{m}^{2}+bm+c=0}\\{a（\frac{{m}^{2}+4}{2m}）^{2}+b\frac{{m}^{2}+4}{2m}+c=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{{m}^{2}-4}}\\{b=\frac{4（{m}^{2}+4）}{2m（{m}^{2}-4）}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴a=-$\frac{4}{{m}^{2}-4}$．
∵1≤m≤4，
∴a≤-$\frac{1}{3}$或a≥$\frac{4}{3}$．
故答案为：a≤-$\frac{1}{3}$或a≥$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、线段垂直平分线的性质以及相似三角形的判定与性质，根据线段垂直平分线的性质结合相似三角形的性质求出点D的坐标是解题的关键．