Question

12．如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，连接AE、AF、EF，且∠AEB=∠AEF．
（1）如图1，求证：AF平分∠EFD；
（2）如图2，若∠C=90°，求证：EF=BE+DF；
（3）在（2）的条件下，若AB=3BE，AE=2$\sqrt{10}$，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得出AC平分∠BCD，再根据角平分线的性质证明即可．
（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（3）根据勾股定理进行解答即可．

解答 解：（1）证明：过点A作AG⊥BC于G，过A作AH⊥EF于H，过A作AM⊥CD于M，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，
又∵AG⊥BC，AM⊥CD，
∴AG=AM，
∵∠AEB=∠AEF，
∴AE平分∠BEF，
又∵AG⊥BC，AH⊥EF，
∴AG=AH，
∴AH=AM，
∴AF平分∠EFD；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
又∵∠C=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，
∴AB⊥BC，AD⊥CD，
过A作AH⊥EF于H，

∴∠AHE=∠AHF=90°，
∴AE平分∠BEF，
又∵AB⊥BC，AH⊥EF，
∴AB=AH，
∵AE=AE，
在Rt△ABE与Rt△AHE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AH}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL）
∴BE=HE，
同理Rt△ADF≌Rt△AHF（HL），
∴DF=HF，
∵EF=EH+FH，
∴EF=BE+DF；
（3）设BE=a，则AB=3a，
在Rt△ABE中，BE²+AB²=AE²，
∴${a}^{2}+（3a）^{2}=（2\sqrt{10}）^{2}$，
∴a=2，
∴AB=3a=6，
由（2）知四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=6，
∴CE=BC-BE=4，
设DF=m，则CF=CD-DF=6-m，
由（2）知EF=BE+DF，
∴EF=2+m，
在Rt△ECF中，CE²+CF²=EF²，
∴4²+（6-m）²=（2+m）²，
∴m=3，
在Rt△ADF中，DF²+AD²=AF²，
∴$AF=\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}=3\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了菱形的性质，关键是判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．