Question

已知方程（a-x）²-4（b-x）（c-x）=0，试说明：
（1）此方程必有实数根；
（2）若a、b、c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根，则△ABC为等边三角形．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：（1）首先去括号，进而利用配方法得出△的符号即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，进而求出a，b，c的关系得出答案．

解答：证明：（1）（a-x）²-4（b-x）（c-x）=0
则a²-2ax+x²-4ac+4bx+4cx-4x²=0
故-3x²-（2a-4b-4c）x+a²-4bc=0
△=（2a-4b-4c）²+12（a²-4bc）
=16a²+16b²+16c²-16ab-16bc-16ac
=8（a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²）
=8[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]≥0
故此方程必有实数根；

（2）∵由方程有两个相等的实数根，∴△=0，
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．

点评：此题主要考查了根的判别式以及配方法的应用，正确配方得出是解题关键．