Question

如图，在矩形ABCD中，延长AD至E，使AE=AC，F为CE的中点，连接BF．
（1）若AB=24，BC=7，求CE的长；
（2）求证：∠ACB=2∠CBF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,勾股定理

专题：

分析：（1）根据勾股定理可求AC的长，根据等量关系和线段之间的和差关系得到DE的长，再根据勾股定理可求CE的长；
（2）连结AF，过F点作FG⊥AB于G，根据等腰三角形三线合一的性质，以及四点共圆的性质即可求解．

解答： （1）解：在Rt△ABC中，∵AB=24，BC=7，
∴AC=

AB2+BC2

=25，
∵AE=AC，
∴AE=25，
∴DE=AE-AD=18，
在Rt△CDE中，CE=

DE2+CD2

=30，；
（2）证明：连结AF，过F点作FG⊥AB于G，
∵AE=AC，F为CE的中点，
∴AF⊥CE，
∴FG是等腰三角形AFB的角平分线，中线，
∴FG∥BC，
∴∠GFB=∠CBF，
∴∠AFB=2∠CBF，
∵∠AFC+∠ABC=90°+90°=180°，
∴A、B、C、F四点共圆，
∴∠ACB=∠AFB=2∠CBF．

点评：考查了勾股定理，等量关系和线段之间的和差关系，等腰三角形三线合一的性质，以及四点共圆的判定和性质，综合性较强，有一定的难度，解题的关键是根据题意作出辅助线．