Question

5．如图，5个同样大小的正方形拼成一个长方形，则∠ABC+∠ADC+∠ACB=90°．

Answer 1

分析 利用勾股定理分别计算出△ACD和△ADB的各个边长，根据有三边比值相等的两三角形相似可判定△ACD和△ADB相定理即可求出似，再根据相似三角形的性质：对应角相等和三角形外角和定理即可求出∠ABC+∠ADC+∠ACB的度数．

解答 解：设每个小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{10}$，
又∵DC=1，BD=5，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{AD}$，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠DAC=∠ABD，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠DAC+∠ADB=45°，
∴∠ABC+∠ADC+∠ACB=90°；
故答案为：90°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质、勾股定理的运用和三角形的外角性质；证明三角形相似是解决问题的突破口．