Question

16．A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ是矩形？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm？

Answer 1

分析 （1）当PB=CQ时，四边形PBCQ为矩形，依此建立方程求出即可；
（2）作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．

解答 解：（1）如图，∵A、B、C、D为矩形的四个顶点，
∴∠B=90°，AB∥CD，

∴当PB=CQ时，四边形PBCQ为矩形，
设P、Q两点从出发开始到t秒时四边形PBCQ是矩形，
则16-3t=2t，
解得：t=$\frac{16}{5}$．
答：当P、Q两点从出发开始到$\frac{16}{5}$秒时四边形PBCQ是矩形秒时四边形APQD为矩形；

（2）设P，Q两点从出发开始到t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作PH⊥CD，垂足为H，则PH=AD=6，PQ=10，
∵DH=PA=3t，CQ=2t，
∴HQ=CD-DH-CQ=|16-5t|，
由勾股定理，得（16-5t）²+6²=10²，
解得t₁=4.8，t₂=1.6．
答：P，Q两点从出发开始到1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．

点评 本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质及判定，勾股定理等知识，综合性较强，利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．