Question

14．已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．

（1）当n=5时，共向外作出了9个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为$\frac{1}{25}$；
（2）当n=k时，共向外作出了3（k-2）个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为$\frac{3（k-2）}{{k}^{2}}$S（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析 结合图形正确数出前面几个具体值，从而发现等边三角形的个数和等分点的个数之间的关系：是n等分点的时候，每条边可以作（n-2）个三角形，共有3（n-2）个三角形；再根据相似三角形面积的比是边长的比的平方进行计算．

解答 解：（1）当n=5时，共有3×（5-2）=9个小等边三角形，
∴每个小三角形与大三角形边长的比=$\frac{1}{5}$，
∵大三角形的面积是S，
∴每个小三角形的面积为$\frac{1}{25}$；‘

（2）由（1）可知，当n=k时，共有3×（k-2）=3（k-2），每个小三角形的面积为$\frac{3（k-2）}{{k}^{2}}$S．
故答案为：（1）9，$\frac{1}{25}$；（2）3（k-2），$\frac{3（k-2）}{{k}^{2}}$S．

点评 此题考查了规律型：图形的变化类，此题要特别注意画等边三角形的时候，必须以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，所以有n等分点的时候，一边可以作（n-2）个等边三角形；计算面积的时候，主要是根据面积比是边长的平方比进行计算．