Question

5．已知：如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，BD平分∠ABC，BC的延长线与过点D的直线交于点H，且BH⊥DH．
（1）求证：DH是⊙O的切线．
（2）如果AB=10，BC=8，求圆心O到BC的距离．

Answer 1

分析 （1）要证DH是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥EF即可．
（2）过点O作OG⊥BC于点G，根据垂径定理求得BG，然后根据勾股定理即可求得O到BC的距离．

解答 （1）证明：连接半径OD．
∵BD平分∠ABH，
∴∠ABD=∠HBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠HBD=∠ODB，
∴OD∥BH，
又∵BH⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，
则BG=CG=4，
在Rt△OBG中，OG=$\sqrt{O{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{5^2}-{4^2}}$=3．

点评 本题考查了切线的判定、垂径定理以及勾股定理的运用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．