Question

19．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于E，若∠BEC=∠C．
（1）若BE平分∠ABC，求∠A的度数；
（2）若△ABC的周长为10，△BCE的周长为6，求BC的长度．

Answer 1

分析 （1）设∠A的度数为x，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质用x表示出∠ABC和∠C，根据三角形内角和定理列出算式求出x的值即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式计算即可．

解答 解：（1）设∠A的度数为x，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=x，
∵∠BEC=∠ABE+∠A=2x，
∴∠C=2x，
∴x+2x+2x=180°，
∴∠A=x=36°；
（2）∵△ABC的周长为10，
∴AB+AC+BC=10，
∵△BCE的周长为6，
∴BE+EC+BC=6，即AC+BC=6，
∴AB=4，
则BC=2．

点评 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．