Question

如图△ABC中，AB=AC，AE⊥BC，E为垂足，F为AB上一点．以BF为直径的圆与AE相切于M点，交BC于G点．
（1）求证：BM平分∠ABC；
（2）当BC=4，cosC=

1

2

时，
①求⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．（结果保留π与根号）

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）连OM，根据切线的性质得OM⊥AE，而AE⊥BC，则OM∥BC，根据平行线的性质得∠OMB=∠MBC，而∠OBM=∠OMB，所以∠OBM=∠MBE；
（2）①设⊙O的半径为R，根据等腰三角形的性质得BE=CE=2，由cos∠C=

1

2

得到∠C=60°，则可判断△ABC为等边三角形，所以AB=AC=BC=4，则∠OAM=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AO=2R，则2R+R=4，解得R=

4

3

；
②过O作OH⊥BM，H为垂足，根据垂径定理得BH=MH，易得∠AOM=60°，∠ABH=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系可得OH=

1

2

OB=

2

3

，BH=

3

OH=

2

3

3

，所以BM=

4

3

3

，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式和S_阴=S_扇形FOM+S_△OBM进行计算．

解答：（1）证明：连OM，如图，
∵⊙O与AE相切于M，
∴OM⊥AE，
∵AE⊥BC，
∴OM∥BC，
∴∠OMB=∠MBC，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∴∠OBM=∠MBE，
∴BM平分∠ABC；
（2）解：①设⊙O的半径为R，
∵AB=AC，BC=4，AE⊥BC，
∴BE=CE=2，
在Rt△ACE中，cos∠C=

1

2

，
∴∠C=60°
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=4，
∴∠OAM=30°，
∴AO=2R，
而AB=OA+BO，
∴2R+R=4，
∴R=

4

3

，
即⊙O的半径为

4

3

；
②过O作OH⊥BM，H为垂足，如图，
∵OH⊥BM，
∴BH=MH，
∵OM∥BE，
∴∠AOM=60°，
∴∠ABH=30°，
∴OH=

1

2

OB=

2

3

，BH=

3

OH=

2

3

3

，
∴BM=

4

3

3

，
∴S_△OBM=

1

2

OH•BM=

4

9

3

，
而S_扇形FOM=

60π× 16 9

360

=

8

27

π，
∴S_阴=S_扇形FOM+S_△OBM=

8

27

π+

4

9

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形的面积公式和含30度的直角三角形三边的关系．