Question

如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE．
（1）求证：BD=EC；
（2）若AC=2，sin∠E=

1

2

，求菱形ABCD的面积．

Answer 1

考点：菱形的性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
（2）欲求菱形ABCD的面积，只需求得AC、BD的长度即可．利用平行四边形BECD的性质推知∠E=∠OBA，所以通过解直角△OBA和勾股定理易求OB的长度．则利用菱形ABCD的对角线互相平分易求BD的长度．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=EC；

（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，
∴DB∥CE，
∴∠E=∠OBA，
∴sin∠OBA=sin∠E=

1

2

．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，OA=

1

2

AC=1，
∴sin∠OBA=

OA

AB

=

1

AB

=

1

2

，
∴AB=2．
∴OB=

AB2-OA2

=

3

，
∴BD=2OB=2

3

，
∴S_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

点评：本题综合考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理．解（2）题时，主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决．