Question

19．在△ABC中，AB=BC，∠ABC=30°，D为AC边上一点，连接BD，在BD上取点E，连接AE，若∠AED=30°，DE=2，△BDC的面积为12，则线段BE的长度为6．

Answer 1

分析 先运用旋转变换，得到△ABE≌△CBF，根据CF∥BD即可得出S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD×FH=12，设FH=x，则BF=BE=2x，BD=2x+2，进而得到方程$\frac{1}{2}$（2x+2）×x=12，求得x=3，即可得到BE=2x=6．

解答 解：如图，将△ABE绕着点B顺时针旋转30°，使得点A与点C重合，得到△BCF，
过F作FH⊥BD于H，连接CF，则△ABE≌△CBF，
∵∠ABC=30°，∠AED=30°，
∴∠FBH=30°，∠BFC=∠BEA=150°，
∴BF=BE=2FH，∠BFC+∠DBF=180°，
∴CF∥BD，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD×FH=12，
设FH=x，则BF=BE=2x，BD=2x+2，
∴$\frac{1}{2}$（2x+2）×x=12，
解得x₁=3，x₂=-4（舍去）
∴BE=2x=6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及含30°角的直角三角形的性质，利用三角形的面积列方程求解．