Question

11．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=（x-h）²+k经过点A、B，其顶点为P．在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，连接QA、QB，并将△ABQ沿AB翻折，得到菱形AQBQ′？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 先求得点A、B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h=2，由翻折的性质和菱形的判定定理可知当QB=QA时，四边形AQBQ′为菱形，设点Q的坐标为（2，a），由两点间的距离公式列出关于a的方程求解即可．

解答 解：如图所示：

把y=0代入直线y=-3x+3得：-3x+3=0，解得x=1，
∴A（1，0）．
把x=0代入直线y=-3x+3得：y=3，
∴B（0，3）．
将（1，0）、（0，3）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{{h}^{2}+k=3}\\{（1-h）^{2}+k=0}\end{array}\right.$，解得：h=2，k=-1，
∴抛物线的对称轴为x=2．
由翻折的性质可知BQ′=BQ，AQ=AQ′．
∴当QB=QA时，四边形AQBQ′为菱形．
设点Q的坐标为（2，a），由两点间的距离公式可知：（2-1）²+a²=2²+（3-a）²，解得a=2，
∴点Q的坐标为（2，2）．

点评 本题主要考查的是二次函数与x轴的交点问题，判断出四边形AQBQ′为菱形的条件是解题的关键．